Question

[Lê Trọng Quý]

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các các tổng sau:
a) A = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + 5¹³ + .... + 2023⁸⁰⁸⁵

b) B = 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + ... + 2023⁸⁰⁸⁷ 

Bài 2: Tìm số tự nhiên a, b biết:

a) 2^a + 154 = 5^b                    b) 10^a + 168 = b²

Bài 3: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương (Gợi ý: để ý chữ số tận cùng)
a) M = 19^k + 5^k + 1995^k + 1996^k (với k chẵn)

b) N = 2004^2004k + 2003

Bài 4: Chứng minh rằng:

a) 5⁵ - 5⁴ + 5³ chia hết cho 7

b) 7⁶ + 7⁵ - 7⁴ chia hết cho 11

c) 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹¹⁹ chia hết cho 7

d) 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²³⁹ chia hết cho 105

e) 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n

Answer 1

[Nguyễn Đức Trí]

Bài 2 :

a) \(2^a+154=5^b\left(a;b\inℕ\right)\)

-Ta thấy,chữ số tận cùng của \(5^b\) luôn luôn là chữ số \(5\)

\(\Rightarrow2^a+154\) có chữ số tận cùng là \(5\)

\(\Rightarrow2^a\) có chữ số tận cùng là \(1\) (Vô lý, vì lũy thừa của 2 là số chẵn)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\varnothing\)

b) \(10^a+168=b^2\left(a;b\inℕ\right)\)

Ta thấy \(10^a\) có chữ số tận cùng là số \(0\)

\(\Rightarrow10^a+168\) có chữ số tận cùng là số \(8\)

mà \(b^2\) là số chính phương (không có chữ số tận cùng là \(8\))

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\varnothing\)

Answer 2

[Nguyễn Đức Trí]

Bài 3 :

a) \(M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\left(với.k.chẵn\right)\)

Ta thấy :

\(5^k;1995^k\) có chữ số tận cùng là \(5\) (vì 2 số này có tận cùng là \(5\))

\(\Rightarrow5^k+1995^k\) có chữ số tận cùng là \(0\)

mà \(1996^k\) có chữ số tận cùng là \(6\) (ví số này có tận cùng là số \(6\))

\(\Rightarrow5^k+1995^k+1996^k\) có chữ số tận cùng là chữ số \(6\)

mà \(19^k\left(k.chẵn\right)\) có chữ số tận cùng là số \(1\)

\(\Rightarrow M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\) có chữ số tận cùng là số \(7\)

\(\Rightarrow M\) không thể là số chính phương.

b) \(N=2004^{2004k}+2003\)

Ta thấy :

\(2004k=4.501k⋮4\)

mà \(2004\) có chữ số tận cùng là \(4\)

\(\Rightarrow2004^{2004k}\) có chữ số tận cùng là \(6\)

\(\Rightarrow N=2004^{2004k}+2003\) có chữ số tận cùng là \(9\)

\(\Rightarrow N\) có thể là số chính phương (nên câu này bạn xem lại đề bài)